Lineær Algebra Introduksjon

Noen enkle regler for Lineær Algebra, i stikkordsform.

- Et system har ei entydig løysing når vi har at t.d x3 = 4
- Et system har uendelig mange løysingar når vi har ein fri variabel, dvs ei rekke med berre 0 i
- Et system har inga løysing når vi har at t.d 0x3 = En verdi ulik null. Då er systemet inkonsistent

- Cramers regel brukast for å finne en verdi for t.d x3.
Xi = det Ai(b)
det A

Det Ai(b) får vi ved å substituere kolonne i med b og så ta determinanten

- Definisjonen på invertibel matrise : Ei invertibel matrise A er invertibel dersom det finnest ei matrise B slik at AB = BA = I
- Definisjonen på lineær uavhengighet : En mengde vektorar {v1, v2, ..., vp} kallast lineært uavhengige dersom likninga
c1v1+c2v2+...+cpvp = 0 kun har den trivielle løysinga

- Definisjonen på basis for et lineært underrom W av R : Et indeksert sett av vektorar {v1, v2, ..., vp} dannar ein basis dersom
I : Dei dannar et lineært uavhengig sett
og
II : Dei spenner W

Ei matrise som er invertibel vil vere en basis for R
- For å finne kolonnerommet til A treng en berre å liste opp alle vektorane i A
- For å finne nullrommet til A må en løyse systemet Ax = 0. Alle lineære kobinasjonar av vektorane en får vil danne NulA, og vil i tilleg
vere ein basis for NulA
- For å finne basis til kolonnerommet til A må en rekkeredusere systemet. Pivot posisjonane vil utgjer basis for ColA
- Dimensjonen til et vektorrom V er antall vektorar i en basis for V
- Dimensjonen til NulA er det samme som antall frie variablar i Ax = 0
- Dimensjonen til ColA er det samme som antall pivot kolonner i A

- ---> En eigenvektor til ei n x n matrise A er en vektor x slik at Ax = "lambda"x for en skalar "lambda". En skalar "lambda" er en eigenverdi til A
dersom der finst ei ikkje triviell løysing x av Ax = "lambda"x
- Ei n x n matrise med n forskjellige egenverdiar er diagonaliserbar. Er det ikkje n forskjellige egenverdiar må ein sjekke om ein egenverdi
gir to egenvektorar
- For å finne egenverdiane til ei matrise må en bruke den karakteristiske ligninga
- Ei matrise er ortogonalt diagonaliserbar dersom, og berre dersom matrisa er symmetrisk
- Det finst 2 typar kjeglesnitt
Ellipse : x^2 + y^2 = 1
a^2 + b^2

Hyperbel : x^2 - y^2 = 1
a^2 - b^2
- Gramschmidt for å finne en ortogonalbasis
- Normaliser vektorane etterpå for å få ein ortonormalbasis
- Skifte av variablar i ei kvadratisk form for å fjerne kryssproduktledd. Bruk D matrisa frå den ortogonale diagonaliseringa
- Husk å få 1 på venstresida av likninga dersom den ikkje allereide er 1, noko den sikkert ikkje er
- Bruk den ortogonale basisen for å tegne grafen, tegn så inn det kartesiske systemet etterpå, dette vil vere deI opprinnelige koordinataksane

- Standardmatrisa til en transformasjon kan lesast rett ut av transformasjonen
- Kjerna til en transformasjon er det samme som nullrommet til A
- Rekkevidda til en transformasjon er det samme som kolonnerommet til A
- For å finne D-matrisa [T]d til transformasjonen T
[T]d = (D^ -1)AD, der A er standardmatrisa til T og D er oppgitt i oppgåva